Discuta a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3 n^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n^{2}+2}.
O conteúdo principal aqui são testes de comparação para séries de termos não negativos, em especial a comparação com a série p-série \sum 1/n^p, que converge se e somente se p>1.

Passo 2

Para aplicar a comparação direta, note que, para todo n\ge1,
3n^2+2 \;\ge\; 3n^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{3n^2+2} \;\le\; \frac{1}{3n^2} \;=\;\frac{1}{3}\,\frac{1}{n^2}.
Como sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
é uma p-série com p=2>1 (logo convergente), pelo teste da comparação direta a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n^{2}+2}
também converge.

Passo 3

Alternativamente, poderíamos usar o teste da comparação de limite: defina
a_n = \frac{1}{3n^2+2}, \quad b_n = \frac{1}{n^2}.
Então
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{3n^2+2} = \frac{1}{3},
um número finito e positivo. Como \sum b_n converge, conclui-se que \sum a_n também converge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n^{2}+2}
é convergente (convergência absoluta).

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