Mostre pela definição que as sequências têm o limite indicado e responda a partir de qual termo a sequência estará próxima de \epsilon=10^{-2} do seu limite.
\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}=\left(\frac{5-n}{2+3 n}\right)_{n \in \mathbb{N}} tem limite -\frac{1}{3}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, pela definição de limite de sequência, que
a_{n} = \frac{5 - n}{2 + 3n}
converge para -\tfrac{1}{3}. Vamos precisar calcular
\bigl|a_{n} + \tfrac{1}{3}\bigr|, mostrar que isso vai a zero quando n \to \infty, e depois, para \epsilon = 10^{-2}, encontrar um N tal que para todo n \ge N valha
\bigl|a_{n} + \tfrac{1}{3}\bigr| < 10^{-2}.

Passo 2

Começamos simplificando a diferença em módulo:
\left|\frac{5-n}{2+3n} + \frac{1}{3}\right| = \left|\frac{3(5-n) + (2+3n)}{3(2+3n)}\right| = \left|\frac{15 - 3n + 2 + 3n}{6 + 9n}\right| = \frac{17}{9n + 6}.
Como \lim_{n\to\infty}\frac{17}{9n+6} = 0, isso prova que
\lim_{n\to\infty}a_{n} = -\tfrac{1}{3} pela definição de limite (dado \epsilon>0 escolho N tal que \frac{17}{9n+6}<\epsilon para n\ge N).

Passo 3

Agora tomamos \epsilon = 10^{-2} e impomos
\frac{17}{9n + 6} < 10^{-2}.
Isto equivale a
17 < 10^{-2}(9n+6) \quad\Longleftrightarrow\quad 17 < 0{,}01\,(9n+6) \quad\Longleftrightarrow\quad 17 < 0{,}09\,n + 0{,}06
\Longleftrightarrow\quad 16{,}94 < 0{,}09\,n \quad\Longleftrightarrow\quad n > \frac{16{,}94}{0{,}09}\approx 188{,}22.

Passo 4

Como n é natural, basta escolher
N = 189
para garantir que, sempre que n \ge 189, tenhamos
\bigl|a_{n} + \tfrac{1}{3}\bigr| < 10^{-2}.

Resposta

Para \epsilon = 10^{-2}, a sequência fica dentro de \epsilon do limite a partir de n = 189.

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