Mostre pela definição que as sequências têm o limite indicado e responda a partir de qual termo a sequência estará próxima de \epsilon=10^{-2} do seu limite. \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}=\left(\frac{5-n}{2+3 n}\right)_{n \in \mathbb{N}} tem limite -\frac{1}{3}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, pela definição de limite de sequência, que
a_{n} = \frac{5 - n}{2 + 3n}
converge para -\tfrac{1}{3}. Vamos precisar calcular \bigl|a_{n} + \tfrac{1}{3}\bigr|, mostrar que isso vai a zero quando n \to \infty, e depois, para \epsilon = 10^{-2}, encontrar um N tal que para todo n \ge N valha \bigl|a_{n} + \tfrac{1}{3}\bigr| < 10^{-2}.
Como \lim_{n\to\infty}\frac{17}{9n+6} = 0, isso prova que \lim_{n\to\infty}a_{n} = -\tfrac{1}{3} pela definição de limite (dado \epsilon>0 escolho N tal que \frac{17}{9n+6}<\epsilon para n\ge N).