Determine a convergência ou divergência das seguintes séries:
(1 ponto) sumn=1^infty(-1)^n 2 n3 n^2+1.

Passo 1

Resumo da questão: Temos a série sumn=1^infty(-1)^n2n3n^2+1. O conteúdo envolve séries alternantes, em que aplicaremos o Teste de Leibniz (convergência de séries alternadas) e, em seguida, analisaremos a convergência absoluta.

Passo 2

Verificar o limite dos termos gerais: seja an=2n3n^2+1. Calculamos
limntoinftyan=limntoinfty2n3n^2+1=limntoinfty23n+1/n=0
Logo, os termos tendem a zero, condição necessária para o Teste de Leibniz.

Passo 3

Analisar a monotonicidade de an: considere a função f(x)=2x3x^2+1. Sua derivada é
f'(x)=2(3x^2+1)-2xcdot6x(3x^2+1)^2=2-6x^2(3x^2+1)^2
Para x>=1 temos 2-6x^2<0, então f'(x)<0. Logo an é decrescente a partir de n=1.

Passo 4

Aplicação do Teste de Leibniz: como an>=0, an é decrescente e limntoinftyan=0, a série alternada converge.

Passo 5

Convergência absoluta: consideramos a série dos valores absolutos
sumn=1^infty2n3n^2+1
Para grandes n, 2n3n^2+1sim23n, e a série sum1n diverge. Pelo critério da comparação, a série de valores absolutos diverge, logo não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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