Determine a convergência ou divergência das seguintes séries:
(1 ponto)
.
(1 ponto)
Passo 1
Resumo da questão: Temos a série
. O conteúdo envolve séries alternantes, em que aplicaremos o Teste de Leibniz (convergência de séries alternadas) e, em seguida, analisaremos a convergência absoluta.
Passo 2
Verificar o limite dos termos gerais: seja
. Calculamos
Logo, os termos tendem a zero, condição necessária para o Teste de Leibniz.
Passo 3
Analisar a monotonicidade de
: considere a função
. Sua derivada é
Para
temos
, então
. Logo
é decrescente a partir de
.
Passo 4
Aplicação do Teste de Leibniz: como
,
é decrescente e
, a série alternada converge.
Passo 5
Convergência absoluta: consideramos a série dos valores absolutos
Para grandes
,
, e a série
diverge. Pelo critério da comparação, a série de valores absolutos diverge, logo não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge condicionalmente.