Determine as derivadas das funções abaixo:
y=x ln (x)-sen(x)x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = x ln(x) ;-;sen(x)x
Para isso vamos usar:
– Regra do produto para derivar xln(x).
– Derivada de ln(x), que é tfrac1x.
– Regra do quociente para derivar tfracsen(x)x.

Passo 2

Derivando xln(x) pela regra do produto, seja u=x e v=ln(x):
ddx[xln(x)] = u',v + u,v' = 1cdotln(x) + xcdot1x = ln(x) + 1

Passo 3

Derivando tfracsen(x)x pela regra do quociente, seja f(x)=sen(x) e g(x)=x:
ddx!l(tfracsen(x)xr) = f'(x),g(x) - f(x),g'(x)[g(x)]^2 = cos(x),x - sen(x)cdot1x^2 = xcos(x) - sen(x)x^2
Como no y original esse termo vem com sinal negativo, temos
ddx!l(-tfracsen(x)xr) = -,xcos(x) - sen(x)x^2 = sen(x) - xcos(x)x^2

Passo 4

Somando as duas derivadas:
y' = l(ln(x)+1r) ;+;sen(x) - xcos(x)x^2

Resposta

y' = ln(x) + 1 + sen(x) - xcos(x)x^2

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