Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
an=3 n+42 n+5

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = 3n+42n+5
e pede para determinar se ela é crescente, decrescente ou não monótona, e se é limitada.
Conteúdo: critério de monotonicidade de sequência (ver sinal de an+1-an) e limite para testar limitação.

Passo 2

Vamos calcular a diferença
an+1 - an = 3(n+1)+42(n+1)+5 - 3n+42n+5 = 3n+72n+7 - 3n+42n+5
Colocando num denominador comum:
an+1-an = (3n+7)(2n+5) - (3n+4)(2n+7)(2n+7)(2n+5)
No numerador:
(3n+7)(2n+5) - (3n+4)(2n+7) = (6n^2+29n+35) - (6n^2+29n+28) = 7
Logo
an+1-an = 7(2n+7)(2n+5)

Passo 3

Como (2n+7)(2n+5)>0 para todo n, segue que
an+1-an = 7(2n+7)(2n+5) > 0
Portanto a sequência é estritamente crescente.

Passo 4

Para verificar se é limitada, observamos o limite quando ntoinfty.
Dividindo numerador e denominador por n:
limntoinftyan = limntoinfty3 + 4/n2 + 5/n = 32
Como a sequência é crescente e tende a tfrac32, ela fica sempre abaixo de tfrac32. Além disso, a1 = 1 é seu menor termo. Logo é limitada inferiormente por 1 e superiormente por tfrac32.

Resposta

A sequência an=3n+42n+5 é estritamente crescente e limitada (tem limite superior tfrac32 e inferior a1=1).

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