Determine a convergência ou divergência das seguintes séries:
(1 ponto) sumn=1^infty n!3^n n^2 n;

Passo 1

O enunciado pede para ver se a série sumn=1^inftyn!3^nn^2n converge ou diverge. É um exercício sobre convergência de séries de termos positivos e vamos usar o teste da raiz de Cauchy.

Passo 2

No teste da raiz calculamos o limite L=limntoinfty(an)^1/n, onde an=n!3^n n^2n Então, usando a aproximação de Stirling n!sim n^n e^-nraiz2pi n, temos
(an)^1/n=(n!)^1/n3,n^2simn/e3,n^2=13e,nto0

Passo 3

Como o limite do teste da raiz L=0<1, concluímos que a série converge absolutamente pelo teste da raiz.

Resposta

A série converge absolutamente (logo é convergente).

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