Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
an=n-2n+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
an = n-2n+2
é crescente, decrescente ou não monótona, e se ela é limitada. O conteúdo envolve conceitos de monotonicidade de sequências (teste pela diferença an+1-an) e estudo de limites para estabelecer cotas superior e inferior.

Passo 2

Definição de monotonicidade:
Uma sequência (an) é
– estritamente crescente se
an+1-an>0forall n,
– estritamente decrescente se
an+1-an<0forall n,
– não monótona caso contrário.

Passo 3

Calculemos a diferença
an+1-an =(n+1)-2(n+1)+2-n-2n+2 =n-1n+3-n-2n+2 =(n-1)(n+2)-(n-2)(n+3)(n+3)(n+2)
Expandindo:
(n-1)(n+2)=n^2+n-2, (n-2)(n+3)=n^2+n-6,
logo o numerador é
(n^2+n-2)-(n^2+n-6)=4
e portanto
an+1-an =4(n+3)(n+2)>0forall n>=1

Passo 4

Como an+1 - an > 0 para todo n, concluímos que a sequência é estritamente crescente.

Passo 5

Para verificar se é limitada, calculemos o limite em infinito:
limntoinftyan =limntoinftyn-2n+2 =1
O primeiro termo é
a1=1-21+2=-13
Logo todos os termos satisfazem
-tfrac13=a1<= an<1,
portanto a sequência é limitada inferiormente por -tfrac13 e superiormente por 1.

Resposta

A sequência é estritamente crescente e limitada (inferiormente por -tfrac13 e superiormente por 1).

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