Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
é crescente, decrescente ou não monótona, e se ela é limitada. O conteúdo envolve conceitos de monotonicidade de sequências (teste pela diferença
) e estudo de limites para estabelecer cotas superior e inferior.
Passo 2
Definição de monotonicidade:
Uma sequência é
– estritamente crescente se
Uma sequência
– estritamente crescente se
– estritamente decrescente se
– não monótona caso contrário.
Passo 3
Calculemos a diferença
Expandindo:
logo o numerador é
e portanto
Passo 4
Como
para todo
, concluímos que a sequência é estritamente crescente.
Passo 5
Para verificar se é limitada, calculemos o limite em infinito:
O primeiro termo é
Logo todos os termos satisfazem
portanto a sequência é limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Resposta
A sequência é estritamente crescente e limitada (inferiormente por
e superiormente por
).