Determine a convergência ou divergência da série sumn=1^infty nn^2+n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty nn^2+n
O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas e vamos usar simplificação do termo geral e o teste de comparação (ou limite de razão com a série harmônica).

Passo 2

Simplificamos o termo geral:
nn^2+n = nn(n+1) = 1n+1
Logo a série fica
sumn=1^infty 1n+1

Passo 3

Observamos que 1n+1 difere da sequência harmônica 1n apenas por um deslocamento de índice. De fato, ou aplicamos comparação direta: para n>=1
1n+1>=12n,
e sum 1/(2n) diverge por ser múltiplo da harmônica, ou fazemos o teste de comparação pelo limite:
limntoinftytfrac1n+1tfrac1n =limntoinftynn+1=1(valor finito e (>0)),
e como sum 1/n diverge, conclui-se que
sum 1/(n+1) também diverge.

Resposta

A série diverge.

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