Determine a convergência ou divergência da série sumn=1^infty e^nn^3+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^inftye^nn^3+1 converge ou diverge. O conteúdo da matéria envolve testes de convergência para séries de termos positivos, e vamos usar o teste da raiz, que é muito direto quando aparece fator exponencial.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para termos an >= 0, se
L = limntoinfty raiz[n]an,
então a série converge se L<1 e diverge se L>1. Aqui temos an = e^n/(n^3+1).

Passo 3

Vamos calcular
L = limntoinfty raiz[n]e^nn^3+1 = limntoinfty raiz[n]e^nraiz[n]n^3+1 = limntoinfty e(n^3+1)^1/n
Como
(n^3+1)^1/n = e^1nln(n^3+1) to e^0 = 1,
fica
L = e1 = e

Passo 4

Como L = e > 1, o teste da raiz nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da raiz, pois o limite L = e > 1.

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