Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
integral x cos sec ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral integral x cos(sec^2 x) , dx usando a técnica de integração por partes. Pra isso, vamos precisar entender como essa técnica funciona e escolher bem as partes da função pra aplicar a regra direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é integral u , dv = uv - integral v , du. Ou seja, a gente precisa escolher um u e um dv na nossa integral original.

Passo 3

Vamos escolher:
  • u = x (porque derivar x é fácil)
  • dv = cos(sec^2 x) , dx (o que sobra depois de escolher u)
Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivando u: du = dx
  • Integrando dv: v = integral cos(sec^2 x) , dx

Passo 4

Aí vem uma parte complicada: achar v. A integral integral cos(sec^2 x) , dx não tem uma antiderivada elementar conhecida, então vamos precisar repensar nossa escolha de u e dv.
Vamos tentar outra abordagem: usar substituição trigonométrica. Mas, nesse caso, parece que a integração por partes não vai ser a melhor técnica pra resolver essa integral específica, já que a função está complicadíssima.

Passo 5

Dado que a integral integral cos(sec^2 x) , dx não é facilmente resolvível com métodos básicos de cálculo, como integração por partes ou substituição, concluímos que a integral original não pode ser expressa em termos de funções elementares conhecidas.

Resposta

A integral integral x cos(sec^2 x) , dx não pode ser resolvida usando a técnica de integração por partes e não possui uma antiderivada expressa em funções elementares.

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