Determine a convergência ou divergência da série sumn=1^infty 4^n2^n+3^n+4^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty 4^n2^n+3^n+4^n
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Vamos usar o teste do termo geral: se
limntoinftyanneq0, então a série sum an diverge.

Passo 2

Calculemos
an = 4^n2^n+3^n+4^n
Dividindo numerador e denominador por 4^n, obtemos
an = 4^n/4^n2^n/4^n + 3^n/4^n + 4^n/4^n = 1l(tfrac12r)^n + l(tfrac34r)^n + 1

Passo 3

Agora, ao fazermos ntoinfty, temos
l(tfrac12r)^nto0, l(tfrac34r)^nto0,
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limntoinftyan = 10 + 0 + 1 = 1

Passo 4

Como limntoinftyan=1neq0, pelo teste do termo geral a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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