Determine a convergência ou divergência da série sumn=1^infty raizn^2+nn^2

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty raizn^2+nn^2
e pede para decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o teste da comparação limite (ou análise assintótica) para séries positivas.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral. Note que
raizn^2+n = n,raiz1+1n,
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an = raizn^2+nn^2 = n,raiz1+1nn^2 = raiz1+tfrac1nn

Passo 3

Para ntoinfty temos
raiz1+1n longrightarrow 1,
então o comportamento assintótico de an é
an sim 1n
Isso sugere comparação com a série harmônica sum 1/n, que diverge.

Passo 4

Aplicamos o teste da comparação limite com bn=1/n. Calculamos
L = limntoinfty anbn = limntoinfty raiz1+tfrac1n/n1/n = limntoinfty raiz1+1n = 1
Como 0< L<infty, ambas as séries têm o mesmo comportamento: se sum bn diverge, sum an também diverge.

Passo 5

Concluímos que a série
sumn=1^infty raizn^2+nn^2
diverge, pois compara “igualmente” com a série harmônica.

Resposta

A série diverge.

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