Determine a convergência ou divergência da série sumn=1^infty n^7(1,01)^n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty n^7(1,01)^n
Trata-se de uma série de termos positivos cujos termos gerais combinam uma potência polinomial n^7 e uma exponencial decrescente (1,01)^-n. Para séries dessa forma, o teste da razão (ou o teste da raiz) é a ferramenta clássica: se o quociente entre termos sucessivos tende a um valor menor que 1, a série converge.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão, calculando
an+1an onde an = n^7(1,01)^n
Temos
an+1an = (n+1)^7(1,01)^,n+1n^7(1,01)^n = (n+1)^7n^7,(1,01)^n(1,01)^,n+1 = gl(1 + 1ngr)^!7,11,01

Passo 3

Agora, tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftyan+1an = limntoinftyl(1 + tfrac1nr)^7,11,01 = 1cdot 11,01 = 11,01approx 0,9901
Como esse valor é estritamente menor que 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^inftyn^7(1,01)^n converge (convergência absoluta pelo teste da razão).

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