Determine o intervalo de convergência da série de potências F(x)=sumn=1^infty (x-2)^nn^4

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
F(x)=sumn=1^infty(x-2)^nn^4
O conteúdo aqui é séries de potências, e vamos precisar usar o teste da raiz (ou razão) para encontrar o raio de convergência e, em seguida, verificar a convergência nos extremos.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz, que diz que o raio de convergência R satisfaz
1R=limsupntoinftyraiz[n]|1n^4| =limntoinfty1(n^4)^1/n
Como limntoinfty(n^4)^1/n=1, obtemos
1R=1 Longrightarrow R=1

Passo 3

Do raio R=1 segue que a série converge para
|x-2|<1 Longrightarrow 1<x<3

Passo 4

Verificamos os extremos:
Em x=3 a série vira
sumn=1^infty(3-2)^nn^4 =sumn=1^infty1n^4,
que converge (série p-com p=4>1).
Em x=1 a série vira
sumn=1^infty(1-2)^nn^4 =sumn=1^infty(-1)^nn^4,
que também converge absolutamente (novamente p=4>1).

Resposta

O intervalo de convergência é [1,3].

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