Nos Exercícios de 1 a 12, determine os extremos relativos de f, se existirem.
f(x, y)=e^x sen y

Passo 1

O enunciado pede para determinar os extremos relativos da função
f(x,y)=e^xsin y
definida em todo R^2. Para isso vamos usar o método de encontrar pontos críticos calculando o gradiente de f e igualando-o a zero. Se houvessem soluções, faríamos o teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Pela regra do produto e da cadeia,
partial fpartial x(x,y) = e^xsin y,
partial fpartial y(x,y) = e^xcos y

Passo 3

Para pontos críticos precisamos resolver o sistema
e^xsin y = 0, e^xcos y = 0
Como e^xneq 0 para todo x, as equações reduzem-se a
sin y = 0, cos y = 0
Não existe y que anule simultaneamente sin y e cos y. Logo, não há solução para o gradiente nulo.

Passo 4

Não existem pontos críticos no domínio de f. Como não há candidatos a extremos relativos, concluímos que não há extremos relativos.

Resposta

A função não possui extremos relativos.

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