determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capitulo. Diga qual o teste usado.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
.
O conteúdo envolvido é série alternante e o critério de Leibniz (teste da série alternante).
O conteúdo envolvido é série alternante e o critério de Leibniz (teste da série alternante).
Passo 2
Definimos
Note que para todo
temos
, logo
.
Além disso, usando a expansão para ,
Além disso, usando a expansão para
Portanto
.
Passo 3
Vamos mostrar que
é decrescente, isto é,
.
Como é crescente, basta comparar os argumentos:
Como
que é sempre verdade. Logo
e
é decrescente.
Passo 4
Como
,
decresce e
, a série
satisfaz as hipóteses do critério de Leibniz.
Logo a série converge.
Logo a série converge.
Passo 5
Para verificar a convergência absoluta, comparamos
com
.
De fato,
De fato,
Como
diverge (série harmônica), pela comparação de limite conclui-se que
também diverge.
Passo 6
Logo a série converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente. É uma convergência condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo critério de Leibniz (teste da série alternante).