determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capitulo. Diga qual o teste usado.
sumn=1^infty(-1)^n ln (n+2n)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^infty(-1)^nlnl(tfracn+2nr).
O conteúdo envolvido é série alternante e o critério de Leibniz (teste da série alternante).

Passo 2

Definimos
bn = lnl(tfracn+2nr)
Note que para todo n>=1 temos n+2>n, logo bn>0.
Além disso, usando a expansão para ntoinfty,
lnl(tfracn+2nr)=lnl(1+tfrac2nr)simtfrac2nto0
Portanto limntoinftybn=0.

Passo 3

Vamos mostrar que (bn) é decrescente, isto é, bn+1<= bn.
Como ln(x) é crescente, basta comparar os argumentos:
n+3,n+1,<=n+2n ;Long<=ftrightarrow; n(n+3)<=(n+1)(n+2) ;Long<=ftrightarrow; n^2+3n<= n^2+3n+2,
que é sempre verdade. Logo bn+1<= bn e (bn) é decrescente.

Passo 4

Como bn>0, bn decresce e lim bn=0, a série
sum(-1)^nbn satisfaz as hipóteses do critério de Leibniz.
Logo a série converge.

Passo 5

Para verificar a convergência absoluta, comparamos bn com 1/n.
De fato,
limntoinftybn1/n =limntoinftynlnl(1+tfrac2nr) =2
Como sum1/n diverge (série harmônica), pela comparação de limite conclui-se que
sum bn também diverge.

Passo 6

Logo a série converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente. É uma convergência condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo critério de Leibniz (teste da série alternante).

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