Determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capítulo. Diga qual o teste usado.
sumn=1^infty (-1)^n+1 5n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série sumn=1^infty (-1)^n+1 5n converge ou diverge. Isso faz parte do conteúdo de séries alternadas, e vamos precisar usar um teste específico para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a série é alternada por causa do termo (-1)^n+1. Séries alternadas são aquelas em que os termos mudam de sinal conforme n aumenta.

Passo 3

Vamos usar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série alternada sum (-1)^n bn converge se:
  1. Os termos bn são positivos.
  2. Os termos bn são decrescentes.
  3. O limite de bn quando n vai para o infinito é zero.

Passo 4

No nosso caso, bn = 5n. Vamos verificar cada condição:
  1. Positivos: 5n é sempre positivo porque n é positivo.
  2. Decrescentes: Conforme n aumenta, 5n diminui. Ou seja, os termos estão decrescendo.
  3. Limite: limn to infty 5n = 0.

Passo 5

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série sumn=1^infty (-1)^n+1 5n converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n+1 5n converge pelo Teste da Série Alternada.

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