Determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capítulo. Diga qual o teste usado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série
converge ou diverge. Isso faz parte do conteúdo de séries alternadas, e vamos precisar usar um teste específico para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a série é alternada por causa do termo
. Séries alternadas são aquelas em que os termos mudam de sinal conforme
aumenta.
Passo 3
Vamos usar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série alternada
converge se:
- Os termos
são positivos. - Os termos
são decrescentes. - O limite de
quando vai para o infinito é zero.
Passo 4
No nosso caso,
. Vamos verificar cada condição:
- Positivos:
é sempre positivo porque é positivo. - Decrescentes: Conforme
aumenta, diminui. Ou seja, os termos estão decrescendo. - Limite:
.
Passo 5
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Série Alternada.