Determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capítulo. Diga qual o teste usado.
sumn=1^infty 5n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty 5n converge ou diverge, usando um teste apropriado do capítulo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os testes de convergência para séries infinitas, especialmente o Teste da Série p.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Série p. Esse teste é usado para séries da forma sumn=1^infty 1n^p , onde p é um número real positivo. A regra é a seguinte:
  • Se p > 1 , a série converge.
  • Se p <= 1 , a série diverge.

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa série com o formato do teste. A série que temos é sumn=1^infty 5n . Podemos reescrever isso como:
sumn=1^infty 5n = 5 sumn=1^infty 1n
Vemos que é uma constante múltipla da série sumn=1^infty 1n , que se encaixa no formato do Teste da Série p, onde p = 1 .

Passo 4

Aplicando o Teste da Série p:
  • Aqui, p = 1 .
  • Segundo o teste, se p <= 1 , a série diverge.

Passo 5

Como p = 1 está na condição onde p <= 1 , concluímos que a série sumn=1^infty 5n diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 5n diverge, conforme o Teste da Série p aplicado com p = 1 .

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