Um tanque industrial para líquidos contém 2000 litros de uma solução contendo 40 kg de determinado soluto. É despejada no tanque, à uma vazão de 1 litro por minuto, uma solução do mesmo soluto com concentração de 100 gramas por litro. A mistura é mantida homogênea e simultaneamente retirada, à vazão de 2 litros por minuto.
Determine a quantidade e a concentração de soluto no tanque em um tempo t qualquer.

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura num tanque: inicialmente há 2000 L de solução contendo 40 kg de soluto. Entra fluxo de 1 L/min com concentração de 100 g/L e sai fluxo de 2 L/min, com mistura homogênea. Vamos modelar a massa de soluto x(t) por uma EDO linear de primeira ordem.

Passo 2

Definimos:
x(t) = massa de soluto no tanque em gramas no instante t (em minutos).
– O volume no tanque é
V(t)=2000 + (1-2)t = 2000 - t

Passo 3

A EDO surge de
dxdt = (taxa de entrada) - (taxa de saída) í
Aqui a taxa de entrada é 1,L/min,\times,100,g/L) = 100,g/min. A taxa de saída é a vazão 2,L/min multiplicada pela concentração instantânea x(t)V(t). Logo
dxdt = 100 - 2,x(t)2000 - t

Passo 4

Escrevemos a EDO na forma padrão
dxdt + 22000 - t,x = 100
e usamos fator integrante
mu(t)=expl(integral 22000 - t,dtr) =expl(-2ln(2000 - t)r) =(2000 - t)^-2
Multiplicando a EDO por mu(t) obtém–se
ddtl(x,(2000 - t)^-2r) =100,(2000 - t)^-2
Integrando em t:
x,(2000 - t)^-2 =integral 100,(2000 - t)^-2,dt + C = 1002000 - t + C
Multiplicando por (2000 - t)^2:
x(t)=100,(2000 - t) - 0.04,(2000 - t)^2,
onde já antecipa-se que C=-0.04 (ver próximo passo).

Passo 5

Aplicando a condição inicial x(0)=40 kg = 40000 g:
40000 = 100cdot2000 + Ccdot2000^2 ;Longrightarrow;C=-0.04
Portanto a solução final é
x(t)=100,(2000 - t) - 0.04,(2000 - t)^2 (em gramas)
Opcionalmente expandindo:
x(t)=40000 + 60,t - 0.04,t^2

Passo 6

A concentração de soluto c(t) em gramas por litro é a razão
c(t)=x(t)V(t) =100,(2000 - t)-0.04,(2000 - t)^22000 - t
Simplificando:
c(t)=100 - 0.04,(2000 - t) =20 + 0.04,t (g/L)

Resposta

A massa de soluto em gramas é
x(t)=100,(2000 - t);-;0.04,(2000 - t)^2,
e a concentração em gramas por litro é
c(t)=20 + 0.04,t

Exercícios relacionados