Um tanque industrial para líquidos contém 2000 litros de uma solução contendo 40 kg de determinado soluto. É despejada no tanque, à uma vazão de 1 litro por minuto, uma solução do mesmo soluto com concentração de 100 gramas por litro. A mistura é mantida homogênea e simultaneamente retirada, à vazão de 2 litros por minuto.
Determine a quantidade e a concentração de soluto no tanque em um tempo
qualquer.
Determine a quantidade e a concentração de soluto no tanque em um tempo
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura num tanque: inicialmente há
L de solução contendo
kg de soluto. Entra fluxo de
L/min com concentração de
g/L e sai fluxo de
L/min, com mistura homogênea. Vamos modelar a massa de soluto
por uma EDO linear de primeira ordem.
Passo 2
Definimos:
– massa de soluto no tanque em gramas no instante
(em minutos).
– O volume no tanque é
–
– O volume no tanque é
Passo 3
A EDO surge de
Aqui a taxa de entrada é
,L/min,\times,100,g/L)
,g/min. A taxa de saída é a vazão
,L/min multiplicada pela concentração instantânea
. Logo
Passo 4
Escrevemos a EDO na forma padrão
e usamos fator integrante
Multiplicando a EDO por
obtém–se
Integrando em
:
Multiplicando por
:
onde já antecipa-se que
(ver próximo passo).
Passo 5
Aplicando a condição inicial
kg
g:
Portanto a solução final é
Opcionalmente expandindo:
Passo 6
A concentração de soluto
em gramas por litro é a razão
Simplificando:
Resposta
A massa de soluto em gramas é
e a concentração em gramas por litro é