Determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capítulo. Diga qual o teste usado.
sumn=1^infty 2^n4 n^2-1

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumn=1^infty 2^n4 n^2-1
usando um teste de séries. Como o termo geral envolve potência exponencial em n, vamos usar o Teste da Razão.

Passo 2

Definimos
an = 2^n4 n^2-1
Pelo Teste da Razão, examinamos
an+1an = 2^n+14(n+1)^2-12^n4n^2-1 = 2;4n^2-14(n+1)^2-1

Passo 3

Calculamos o limite do quociente:
L = limntoinfty an+1an = limntoinfty 2;4n^2-14n^2+8n+3 = 2;4n^24n^2 = 2

Passo 4

Como L=2>1, o Teste da Razão garante que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 2^n4 n^2-1 diverge pelo Teste da Razão, pois a razão limite é L=2>1.

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