Determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capítulo. Diga qual o teste usado.
sumn=1^infty 1raizn+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty1raizn+2
converge ou diverge, usando um teste de séries adequado. O conteúdo aqui são séries numéricas e, em especial, o teste da comparação por limites, que compara o termo geral da série com o de uma p-série.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da comparação por limites escolhendo como séerie de referência a p-série
sumn=1^infty1raizn
cujo expoente é p=tfrac12<1 e sabemos que essa p-série diverge.

Passo 3

Definimos
an = 1raizn+2, bn = 1raizn
e calculamos o limite
limntoinftyanbn = limntoinftytfrac1raizn+2tfrac1raizn = limntoinftyraiznraizn+2 =1
Como esse limite é um número real e positivo ( neq 0 e neqinfty), as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Sabemos que
sumn=1^infty1raizn
é divergente (p-série com p=tfrac12<=1). Pelo teste da comparação por limites, a série original
sumn=1^infty1raizn+2
também diverge.

Resposta

A série diverge, por meio do teste da comparação por limites.

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