Seja
Calcule
.
Passo 1
Nesse exercício temos uma função de duas variáveis dada por
e queremos o limite de
quando
. O conteúdo principal é limite de função multivariável na fronteira de um domínio.
Passo 2
Primeiro, note que o ponto
satisfaz
, então devemos verificar se o limite vindo de dentro do disco
e de fora
coincidem.
Passo 3
No exterior do círculo
, temos
. Como
, o quociente
tende a 0.
Passo 4
No interior do círculo
, escrevemos
e definimos o parâmetro
, que tende a 0 pelo lado negativo quando
. Assim o quociente vira
Passo 5
Fica então o limite unidimensional
Como
, podemos usar a substituição
com
. O limite se transforma em
pois o decaimento exponencial domina qualquer divergência polinomial.
Passo 6
Visto que de dentro e de fora chegamos a 0, concluímos que o limite bidimensional existe e vale 0.
Resposta
0