Seja
Calcule f(x, y)= e^1x^2+y^2-1 & se x^2+y^2<1 0 & se x^2+y^2 >= 1 .

Passo 1

Nesse exercício temos uma função de duas variáveis dada por
f(x,y)=e^1x^2+y^2-1,&se x^2+y^2<1,0,&se x^2+y^2>=1,
e queremos o limite de f(x,y)/(x^2+y^2-1) quando (x,y)to(tfracraiz22,tfracraiz22). O conteúdo principal é limite de função multivariável na fronteira de um domínio.

Passo 2

Primeiro, note que o ponto (tfracraiz22,tfracraiz22) satisfaz x^2+y^2=1, então devemos verificar se o limite vindo de dentro do disco x^2+y^2<1 e de fora x^2+y^2>1 coincidem.

Passo 3

No exterior do círculo x^2+y^2>1, temos f(x,y)=0. Como x^2+y^2-1to0^+, o quociente
f(x,y)x^2+y^2-1 = 0,x^2+y^2-1,
tende a 0.

Passo 4

No interior do círculo x^2+y^2<1, escrevemos r^2=x^2+y^2 e definimos o parâmetro t=r^2-1, que tende a 0 pelo lado negativo quando (x,y)to(tfracraiz22,tfracraiz22). Assim o quociente vira
f(x,y)x^2+y^2-1 = e^1/(x^2+y^2-1)x^2+y^2-1 = e^1/tt

Passo 5

Fica então o limite unidimensional
limtto0^-e^1/tt
Como 1/tto-infty, podemos usar a substituição s=1/t com sto-infty. O limite se transforma em
limsto-inftys,e^s=0,
pois o decaimento exponencial domina qualquer divergência polinomial.

Passo 6

Visto que de dentro e de fora chegamos a 0, concluímos que o limite bidimensional existe e vale 0.

Resposta

0

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