Determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capítulo. Diga qual o teste usado.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, indicando o teste utilizado. O conteúdo é séries alternadas, e vamos usar o Teste de Leibniz (alternating series test) e depois verificar convergência absoluta via Teste da Integral.
Passo 2
Definimos
Primeiro checamos se
. Como
, tanto
quanto
, logo
Passo 3
Agora mostramos que
é decrescente para
. Considere a função contínua
Sua derivada é
Para
tem
e
, logo
. Portanto
é decrescente em
e, por consequência,
para todo
.
Passo 4
Pelas condições do Teste de Leibniz –
,
decrescente e
– a série alternada
converge.
Passo 5
Para verificar convergência absoluta, analisamos
Aplicamos o Teste da Integral:
Logo a série dos módulos diverge, e não há convergência absoluta.
Passo 6
Concluímos que a série original converge, mas não absolutamente. Essa convergência é, portanto, condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente.
Teste usado: Teste de Leibniz (série alternada).
Teste usado: Teste de Leibniz (série alternada).