Determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capítulo. Diga qual o teste usado.
sumn=2^infty (-1)^nn ln n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=2^infty(-1)^nnln n
converge ou diverge, indicando o teste utilizado. O conteúdo é séries alternadas, e vamos usar o Teste de Leibniz (alternating series test) e depois verificar convergência absoluta via Teste da Integral.

Passo 2

Definimos
an = 1nln n(n>=2)
Primeiro checamos se limntoinftyan=0. Como ntoinfty, tanto ntoinfty quanto ln ntoinfty, logo
limntoinftyan = limntoinfty1nln n =0

Passo 3

Agora mostramos que (an) é decrescente para n>=2. Considere a função contínua
f(x)=1xln x, x>1
Sua derivada é
f'(x) =-ln x + 1x^2(ln x)^2
Para x>1 tem ln x+1>0 e x^2(ln x)^2>0, logo f'(x)<0. Portanto f é decrescente em (1,infty) e, por consequência, an+1<an para todo n>=2.

Passo 4

Pelas condições do Teste de Leibniz – an > 0, an decrescente e lim an = 0 – a série alternada
sumn=2^infty (-1)^n an
converge.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, analisamos
sumn=2^inftyl|(-1)^n anr| =sumn=2^infty1nln n
Aplicamos o Teste da Integral:
integral2^inftydxxln x =limttoinftyintegral2^tdxxln x =limttoinftyl[ln(ln x)r]2^t =limttoinftyln(ln t)-ln(ln2) =+infty
Logo a série dos módulos diverge, e não há convergência absoluta.

Passo 6

Concluímos que a série original converge, mas não absolutamente. Essa convergência é, portanto, condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.
Teste usado: Teste de Leibniz (série alternada).

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