Mostre que as integrais de linha abaixo são independentes do caminho e calcule o seu valor
onde
é uma curva lingando o ponto
ao ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a forma diferencial
é independente do caminho entre
e
, isto é,
é exata em
, e em seguida calcular
Para isso vamos identificar
verificar se
(condição de exatidão) e então encontrar uma função potencial
tal que
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais:
Como
em todo
, a forma é exata e, portanto, o integral de linha é independente do caminho.
Passo 3
Procuramos
com
Integrando em relação a
:
onde
é função a determinar. Agora impomos
Isso força
, logo
é constante que podemos descartar (não altera a diferença de valores de
).
Portanto
é um potencial de
.
Passo 4
Como a integral é independente do caminho, temos
Calculando:
Logo