Mostre que as integrais de linha abaixo são independentes do caminho e calcule o seu valor
integralC e^x sin y d x+e^x cos y d y onde C é uma curva lingando o ponto A(0,0) ao ponto B(2, pi / 2).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a forma diferencial
omega = e^xsin y,dx + e^xcos y,dy
é independente do caminho entre A(0,0) e B(2,pi/2), isto é, omega é exata em R^2, e em seguida calcular
integralComega
Para isso vamos identificar
M(x,y)=e^xsin y, N(x,y)=e^xcos y,
verificar se partial M/partial y=partial N/partial x (condição de exatidão) e então encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que
dphi = M,dx + N,dy

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial yl(e^xsin yr) =e^xcos y,
partial Npartial x =partialpartial xl(e^xcos yr) =e^xcos y
Como partial M/partial y=partial N/partial x em todo R^2, a forma é exata e, portanto, o integral de linha é independente do caminho.

Passo 3

Procuramos phi(x,y) com
partial phipartial x = M(x,y) = e^xsin y
Integrando em relação a x:
phi(x,y) = integral e^xsin y,dx = e^xsin y + g(y),
onde g(y) é função a determinar. Agora impomos
partial phipartial y = e^xcos y + g'(y) stackrel!= N(x,y) = e^xcos y
Isso força g'(y)=0, logo g(y) é constante que podemos descartar (não altera a diferença de valores de phi).
Portanto
phi(x,y)=e^xsin y
é um potencial de omega.

Passo 4

Como a integral é independente do caminho, temos
integralComega =phil(Br)-phil(Ar) =phil(2,tfracpi2r)-phi(0,0)
Calculando:
phil(2,tfracpi2r) = e^2sin!l(tfracpi2r) = e^2cdot1 = e^2,
phi(0,0) = e^0sin(0) = 1cdot0 = 0
Logo
integralComega = e^2-0 = e^2

Resposta

e^2

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