Determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capítulo. Diga qual o teste usado.
sumn=1^infty ln nn^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^inftyln nn^2
Como os termos são positivos e a função associada é suave em [1,infty), vamos usar o teste da integral.

Passo 2

Definimos a função contínua e positiva em [1,infty)
f(x)=ln xx^2
Verificamos que f(x) é decrescente para x>=1 pois
f'(x) =1xcdot x^2 - ln x cdot 2xx^4 =x -2xln xx^4 =1-2ln xx^3,
e para x>=1 temos 1-2ln x<=0, logo f'(x)<=0.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
integral1^inftyln xx^2,dx
Fazemos integração por partes com u=ln x, dv=x^-2dx. Então du=1xdx e v=-1x, o que dá
integralln xx^2dx = u,v - integral v,du =-ln xx -integrall(-1xr)1xdx =-ln xx +integral1x^2dx =-ln xx -1x
Logo a integral imprópria é
integral1^Aln xx^2,dx =l[-ln x+1xr]1^A =l(-ln A+1Ar)-l(-1r) =1-ln A+1A
Fazendo Atoinfty, o termo ln A+1Ato0, logo
integral1^inftyln xx^2,dx=1<infty

Passo 4

Como a integral associada converge, pelo teste da integral a série
sumn=1^inftyln nn^2
converge.

Resposta

A série converge por meio do teste da integral.

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