Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
6)
sum cos (k pi4)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumk=1^inftycos!l(tfrackpi4r).
O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste da divergência, que afirma que, se limktoinftyakneq0, então a série sum ak necessariamente diverge.

Passo 2

Escrevemos o termo geral
ak = cos!l(tfrackpi4r)
Para que a série pudesse convergir, precisaríamos de
limktoinftyak = 0
Porém a sequência cos!l(tfrackpi4r) é periódica de período 8 e não tende a nenhum valor único. Em particular, ao escolher k=4m temos
a4m = cos(mpi) = (-1)^m,
que não tende a zero.

Passo 3

Como limktoinftyak não existe (e em especial não é zero), aplicamos o teste da divergência e concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da divergência (termo geral não tende a zero).

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