(Valor 2.5) Enuncie e demonstre uma proposição (ou teorema) de sua escolha e de acordo com nosso estudo em Geometria Euclidiana Plana (diferente da questão 3).
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Passo 1

Vamos enunciar e demonstrar a seguinte proposição de Geometria Euclidiana Plana: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos. Para isso, vamos usar o postulado das paralelas e as propriedades de ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma secante.

Passo 2

Seja triang<= ABC. Pelo vértice C traçamos a reta ell paralela ao lado AB. Esse traçado é garantido pelo postulado de Euclides, que assegura a existência de uma única paralela a uma reta dada passando por um ponto exterior.

Passo 3

Observe que a reta AC corta as paralelas ell e AB, formando o ângulo externo em C com medida alpha, que é alterno interno ao ângulo ang<= CAB. Logo,
alpha = ang<= CAB
De modo análogo, a reta BC corta ell e AB, formando o ângulo externo em C com medida beta, alterno interno a ang<= CBA. Assim,
beta = ang<= CBA

Passo 4

Na reta ell, os três ângulos adjacentes alpha, ang<= ACB e beta formam um ângulo raso, isto é,
alpha + ang<= ACB + beta = 180^circ
Substituindo as igualdades alpha = ang<= CAB e beta = ang<= CBA, concluímos
ang<= CAB + ang<= ACB + ang<= CBA = 180^circ

Resposta

Proposição: Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é igual a dois ângulos retos ( 180^circ).

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