(Valor 2.5) Enuncie e demonstre uma proposição (ou teorema) de sua escolha e de acordo com nosso estudo em Geometria Euclidiana Plana (diferente da questão 3).
1
1
Passo 1
Vamos enunciar e demonstrar a seguinte proposição de Geometria Euclidiana Plana: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos. Para isso, vamos usar o postulado das paralelas e as propriedades de ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma secante.
Passo 2
Seja
. Pelo vértice
traçamos a reta
paralela ao lado
. Esse traçado é garantido pelo postulado de Euclides, que assegura a existência de uma única paralela a uma reta dada passando por um ponto exterior.
Passo 3
Observe que a reta
corta as paralelas
e
, formando o ângulo externo em
com medida
, que é alterno interno ao ângulo
. Logo,
De modo análogo, a reta
corta
e
, formando o ângulo externo em
com medida
, alterno interno a
. Assim,
Passo 4
Na reta
, os três ângulos adjacentes
,
e
formam um ângulo raso, isto é,
Substituindo as igualdades
e
, concluímos
Resposta
Proposição: Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é igual a dois ângulos retos (
).