Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
9)
sum 2^k3^k+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumk=1^infty 2^k3^k+1
Isso envolve séries infinitas e, como os termos são positivos, podemos usar o teste da comparação direta com uma série geométrica.

Passo 2

Note que, para todo k>=1,
3^k+1 > 3^k Longrightarrow 2^k3^k+1 < 2^k3^k = l(tfrac23r)^k

Passo 3

A série geométrica
sumk=1^infty l(tfrac23r)^k
converge porque sua razão tfrac23 satisfaz l|tfrac23r|<1.

Passo 4

Pelo teste da comparação direta, como
0 <= 2^k3^k+1 < l(tfrac23r)^k
e sum (2/3)^k converge, concluímos que
sumk=1^infty 2^k3^k+1 converge.

Resposta

A série converge (teste da comparação direta com a série geométrica).

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