Determine os limites das seguintes sequiências:
(4) lim n infty ln (n)raizn

Passo 1

O enunciado pede
limntoinftyln(n)raizn
Aqui o conteúdo é comparação de taxas de crescimento entre funções e aplicação da regra de l’Hôpital em uma forma do tipo infty/infty. Para sequências definidas por funções contínuas, podemos analisar
f(x)=ln(x)raizx, x>0,
e então passar ao limite xtoinfty.

Passo 2

Examinamos
limxtoinftyln(x)raizx
Como ln(x)toinfty e raizxtoinfty quando xtoinfty, temos uma indeterminação do tipo infty/infty, o que nos permite usar a regra de l’Hôpital.

Passo 3

Aplicando regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
ddxln(x)=1x, ddxraizx=12raizx
Logo,
limxtoinftyln(x)raizx =limxtoinftytfrac1xtfrac12raizx

Passo 4

Simplificamos a razão das derivadas:
tfrac1xtfrac12raizx =1xcdot2raizx1 =2raizxx =2raizx
Como raizxtoinfty, então
limxtoinfty2raizx=0

Passo 5

Portanto
limntoinftyln(n)raizn=0

Resposta

0

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