Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
(43) sum 3^kk^3 2^k+2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumk=1^infty3^kk^3,2^,k+2
O conteúdo aqui é séries de termos positivos e vamos usar o teste da raiz para decidir convergência.

Passo 2

Começamos isolando o termo geral ak. Note que
12^,k+2=12^2,2^k=14,12^k,
então
ak=3^kk^3,2^,k+2 =14,3^kk^3,2^k =14,l(tfrac32r)^kk^3

Passo 3

Aplicamos o teste da raiz, que diz que se
L=limsupktoinftyraiz[k]ak,
então a série converge se L<1, diverge se L>1. Calculamos
raiz[k]ak =raiz[k]14 ;cdot;raiz[k]l(tfrac32r)^k ;cdot;raiz[k]1k^3 =l(tfrac14r)^1/k ;cdot;tfrac32 ;cdot;(k^-3)^1/k
Quando ktoinfty, temos l(tfrac14r)^1/kto1 e (k^-3)^1/k=k^-3/kto1. Logo
L=limktoinftyraiz[k]ak =32>1

Resposta

A série diverge, pelo teste da raiz (pois o valor-limite L=tfrac32 é maior que 1).

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