Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
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Passo 1
Temos a série
. O conteúdo é análise de convergência de séries e vamos usar o teste da divergência (teste do termo geral).
Passo 2
Para aplicar o teste da divergência, calculamos o limite do termo geral
. Dividindo numerador e denominador por
obtemos:
$$
\frac{k+1}{\sqrt{k{3/2}+1}}=\frac{k{1/4}+k{-3/4}}{\sqrt{1+k{-3/2}}}\n
\lim_{k\to\infty}a_k=\infty\neq0.
$$
Passo 3
Como o limite do termo geral não é zero, a série não pode convergir. Pelo teste da divergência, concluímos que a série diverge.
Resposta
A série diverge pelo teste da divergência, pois
.