Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
54) sum k+1raizk^3 / 2+1

Passo 1

Temos a série sumk=1^inftyk+1raizk^3/2+1. O conteúdo é análise de convergência de séries e vamos usar o teste da divergência (teste do termo geral).

Passo 2

Para aplicar o teste da divergência, calculamos o limite do termo geral ak=k+1raizk^3/2+1. Dividindo numerador e denominador por k^3/4 obtemos:
$$
\frac{k+1}{\sqrt{k{3/2}+1}}=\frac{k{1/4}+k{-3/4}}{\sqrt{1+k{-3/2}}}\n k+1raizk^3/2+1=k^1/4+k^-3/4raiz1+k^-3/2nÀ
\lim_{k\to\infty}a_k=\infty\neq0.
$$

Passo 3

Como o limite do termo geral não é zero, a série não pode convergir. Pelo teste da divergência, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da divergência, pois limktoinftyakneq0.

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