Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
67) sum(kk+1)^k

Passo 1

Estamos diante da série
sumk=1^infty(kk+1)^k
O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas e vamos usar o teste do termo geral, que exige verificar
limktoinftyak, onde
ak = (kk+1)^k

Passo 2

Escrevemos ak em termos de exponencial para facilitar o cálculo do limite:
ak = (1 - 1k+1)^k = exp!l(k lnl(1 - tfrac1k+1r)r)

Passo 3

Calculamos o limite do expoente por l’Hôpital ou expansão assintótica:
limktoinfty k ln!(1 - tfrac1k+1) = limktoinfty ln(1 - tfrac1k+1)tfrac1k oversetTaylor= limktoinfty -tfrac1k+1 + o(tfrac1k)tfrac1k = -1

Passo 4

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limktoinftyak = exp(-1) = 1e neq 0
Pelo teste do termo geral, se lim akneq0 a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste do termo geral, pois
limktoinftyl(k/(k+1)r)^k=1/eneq0.

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