Seja z=f(x, y) uma função diferenciável onde x=r^2+s^2 e y=2rs. Calcule partial zpartial r, partial zpartial s e partial^2 zpartial s^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função z = f(x, y) onde x e y são funções de r e s , isto é, x = r^2 + s^2 e y = 2rs . A gente precisa encontrar as derivadas parciais partial zpartial r , partial zpartial s e a segunda derivada partial^2 zpartial s^2 . Vamos usar a regra da cadeia para isso, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se z = f(x, y) , e x e y são funções de r e s , então:
partial zpartial r = partial fpartial x cdot partial xpartial r + partial fpartial y cdot partial ypartial r
E de forma similar para partial zpartial s .

Passo 3

Vamos calcular partial xpartial r e partial ypartial r :
x = r^2 + s^2 Rightarrow partial xpartial r = 2r
y = 2rs Rightarrow partial ypartial r = 2s

Passo 4

Agora, aplicando a regra da cadeia para partial zpartial r :
partial zpartial r = partial fpartial x cdot 2r + partial fpartial y cdot 2s

Passo 5

Vamos repetir o processo para partial zpartial s . Primeiro, calculamos partial xpartial s e partial ypartial s :
partial xpartial s = 2s
y = 2rs Rightarrow partial ypartial s = 2r

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para partial zpartial s :
partial zpartial s = partial fpartial x cdot 2s + partial fpartial y cdot 2r

Passo 7

Agora, para encontrar a segunda derivada partial^2 zpartial s^2 , precisamos derivar partial zpartial s em relação a s :
partial^2 zpartial s^2 = partialpartial s ( partial fpartial x cdot 2s + partial fpartial y cdot 2r )

Passo 8

Vamos derivar termo a termo. Primeiro, a derivada de partial fpartial x cdot 2s em relação a s :
Usando a regra do produto:
partialpartial s ( partial fpartial x cdot 2s ) = 2s cdot partial^2 fpartial x^2 cdot partial xpartial s + 2 cdot partial fpartial x
E para o segundo termo partial fpartial y cdot 2r :
partialpartial s ( partial fpartial y cdot 2r ) = 2r cdot partial^2 fpartial y^2 cdot partial ypartial s

Passo 9

Substituindo partial xpartial s = 2s e partial ypartial s = 2r :
partial^2 zpartial s^2 = 2s cdot partial^2 fpartial x^2 cdot 2s + 2 cdot partial fpartial x + 2r cdot partial^2 fpartial y^2 cdot 2r
Simplificando:
partial^2 zpartial s^2 = 4s^2 cdot partial^2 fpartial x^2 + 2 cdot partial fpartial x + 4r^2 cdot partial^2 fpartial y^2

Resposta

As derivadas solicitadas são:
partial zpartial r = 2r cdot partial fpartial x + 2s cdot partial fpartial y
partial zpartial s = 2s cdot partial fpartial x + 2r cdot partial fpartial y
partial^2 zpartial s^2 = 4s^2 cdot partial^2 fpartial x^2 + 2 cdot partial fpartial x + 4r^2 cdot partial^2 fpartial y^2

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