Seja
uma função diferenciável onde
e
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função
onde
e
são funções de
e
, isto é,
e
. A gente precisa encontrar as derivadas parciais
,
e a segunda derivada
. Vamos usar a regra da cadeia para isso, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se
, e
e
são funções de
e
, então:
E de forma similar para
.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Passo 4
Agora, aplicando a regra da cadeia para
:
Passo 5
Vamos repetir o processo para
. Primeiro, calculamos
e
:
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia para
:
Passo 7
Agora, para encontrar a segunda derivada
, precisamos derivar
em relação a
:
Passo 8
Vamos derivar termo a termo. Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Usando a regra do produto:
E para o segundo termo
:
Passo 9
Substituindo
e
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas solicitadas são: