Use a Regra da Cadeia para calcular dz/dt.
z=x^2+y^2+xy, x=cos t, y=e^t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Regra da Cadeia para calcular a derivada de z em relação a t , onde z = x^2 + y^2 + xy , e as variáveis x e y são funções de t dadas por x = cos t e y = e^t . A Regra da Cadeia é aquela que ajuda a gente a derivar funções compostas, ou seja, funções que dependem de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão da derivada de z em relação a t usando a Regra da Cadeia. Se z depende de x e y , que por sua vez dependem de t , então:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de z em relação a x e y . Isso significa que tratamos uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra.
Para partial zpartial x :
z = x^2 + y^2 + xy Rightarrow partial zpartial x = 2x + y
Para partial zpartial y :
z = x^2 + y^2 + xy Rightarrow partial zpartial y = 2y + x

Passo 4

Agora, vamos derivar x e y em relação a t .
Para dxdt :
x = cos t Rightarrow dxdt = -sin t
Para dydt :
y = e^t Rightarrow dydt = e^t

Passo 5

Substituímos todas essas derivadas na expressão inicial da Regra da Cadeia:
dzdt = (2x + y) cdot (-sin t) + (2y + x) cdot e^t
Agora, vamos substituir x = cos t e y = e^t na expressão:
dzdt = (2cos t + e^t) cdot (-sin t) + (2e^t + cos t) cdot e^t

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
dzdt = -2cos t sin t - e^t sin t + 2e^2t + cos t e^t
Podemos reorganizar os termos para uma melhor visualização:
dzdt = 2e^2t + cos t e^t - 2cos t sin t - e^t sin t

Resposta

A derivada de z em relação a t é:
dzdt = 2e^2t + cos t cdot e^t - 2cos t sin t - e^t sin t

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