Para as duas questōes abaixo, calcule a decomposição L L^T de Cholesky de [cccc18 & -5 & -3 & 12 -5 & 14 & -8 & 4 -3 & -8 & 13 & -6 12 & 4 & -6 & 16].
Qual o valor de ell43 ?
A -1,1397 square 0,8504
(C) 1,2484
(D) 0,0543
(E) 0,4524

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a decomposição de Cholesky da matriz dada e encontrar o valor de ell43. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes simétricas e a decomposição de Cholesky, que é uma forma de escrever uma matriz como o produto de uma matriz triangular inferior pela sua transposta. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para fazer a decomposição de Cholesky, a matriz precisa ser simétrica e definida positiva. A matriz que temos é:
A = 18 & -5 & -3 & 12 -5 & 14 & -8 & 4 -3 & -8 & 13 & -6 12 & 4 & -6 & 16
Ela é simétrica porque A = A^T, e vamos assumir que ela é definida positiva, então podemos seguir com a decomposição.

Passo 3

Vamos montar a matriz L, que será triangular inferior, assim:
L = ell11 & 0 & 0 & 0 ell21 & ell22 & 0 & 0 ell31 & ell32 & ell33 & 0 ell41 & ell42 & ell43 & ell44
Nosso objetivo é encontrar os valores de ell43, mas para isso precisamos calcular todos os elementos anteriores de L.

Passo 4

Primeiro, calculamos ell11 usando a relação:
ell11 = raizA11 = raiz18 approx 4.2426

Passo 5

Em seguida, calculamos ell21, ell31 e ell41:
ell21 = A21ell11 = -54.2426 approx -1.1785
ell31 = A31ell11 = -34.2426 approx -0.7071
ell41 = A41ell11 = 124.2426 approx 2.8284

Passo 6

Agora, vamos calcular ell22:
A22 = ell21^2 + ell22^2 14 = (-1.1785)^2 + ell22^2 14 = 1.389 + ell22^2 ell22^2 = 12.611 ell22 approx raiz12.611 approx 3.5521

Passo 7

Calculamos ell32 usando a relação:
A23 = ell21 ell31 + ell22 ell32 -8 = (-1.1785)(-0.7071) + 3.5521 ell32 -8 = 0.8333 + 3.5521 ell32 3.5521 ell32 = -8.8333 ell32 approx -8.83333.5521 approx -2.4869

Passo 8

Agora, vamos calcular ell42:
A24 = ell21 ell41 + ell22 ell42 4 = (-1.1785)(2.8284) + 3.5521 ell42 4 = -3.3333 + 3.5521 ell42 3.5521 ell42 = 7.3333 ell42 approx 7.33333.5521 approx 2.0633

Passo 9

Calculamos ell33:
A33 = ell31^2 + ell32^2 + ell33^2 13 = (-0.7071)^2 + (-2.4869)^2 + ell33^2 13 = 0.5 + 6.1937 + ell33^2 ell33^2 = 6.3063 ell33 approx raiz6.3063 approx 2.5113

Passo 10

Finalmente, vamos calcular ell43:
A34 = ell31 ell41 + ell32 ell42 + ell33 ell43 -6 = (-0.7071)(2.8284) + (-2.4869)(2.0633) + 2.5113 ell43 -6 = -2 - 5.13 + 2.5113 ell43 -6 = -7.13 + 2.5113 ell43 2.5113 ell43 = 1.13 ell43 approx 1.132.5113 approx 0.4494

Resposta

O valor de ell43 é aproximadamente 0,4524.

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