Determine o valor máximo de f(x, y, z)=raiz[4]xyzw onde x, y, z, w são números positivos e
x+y+z+w=1
Deduza que
raiz[4]abcd <= a+b+c+d4
para quaisquer números positivos a, b, c, d.

Passo 1

O enunciado pede achar o valor máximo de raiz[4]xyzw sujeito a x+y+z+w=1 com x,y,z,w>0. O conteúdo principal é a desigualdade das médias aritmética e geométrica (AM-GM).

Passo 2

Pela AM-GM temos
x+y+z+w4 >= raiz[4]xyzw
Como x+y+z+w=1, segue
raiz[4]xyzw <= 14.
A igualdade ocorre quando x=y=z=w=14, logo o valor máximo de f é 14.

Passo 3

Para deduzir a desigualdade generalizada, tomemos a,b,c,d>0 e S=a+b+c+d. Definindo
x=aS, y=bS, z=cS, w=dS,
temos x+y+z+w=1 e
raiz[4]xyzw=raiz[4]abcdS<= 14
Multiplicando ambos os lados por S, obtemos
raiz[4]abcd<= a+b+c+d4

Resposta

O valor máximo de raiz[4]xyzw sob x+y+z+w=1 é 14, obtido em x=y=z=w=14.
Deste resultado segue imediatamente que
raiz[4]abcd<= a+b+c+d4
para quaisquer a,b,c,d>0.

Exercícios relacionados