Determine o valor máximo de
onde
são números positivos e
Deduza que
para quaisquer números positivos
.
Passo 1
O enunciado pede achar o valor máximo de
sujeito a
com
. O conteúdo principal é a desigualdade das médias aritmética e geométrica (AM-GM).
Passo 2
Pela AM-GM temos
Como
, segue
.
A igualdade ocorre quando , logo o valor máximo de
é
.
A igualdade ocorre quando
Passo 3
Para deduzir a desigualdade generalizada, tomemos
e
. Definindo
temos
e
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Resposta
O valor máximo de
sob
é
, obtido em
.
Deste resultado segue imediatamente que
Deste resultado segue imediatamente que
para quaisquer
.