Questão 6 - Determinar a equação da reta tangente à curva x^{2}+\frac{1}{2} y-1=0 no ponto (-1,0).

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^{2} + \tfrac12\,y - 1 = 0
e pede a reta tangente a ela no ponto (-1,0). Para isso, vamos usar diferenciação implícita para encontrar a derivada y' = \tfrac{dy}{dx}, que é o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
x^{2} + \tfrac12\,y - 1 = 0
em relação a x, lembrando que y=y(x), temos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) + \frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac12\,y\Bigr) - \frac{d}{dx}(1) = 0
isto é,
2x + \tfrac12\,y' - 0 = 0.

Passo 3

Isolando y', obtemos
\tfrac12\,y' = -2x \quad\Longrightarrow\quad y' = -4x.
No ponto (-1,0), substituindo x=-1
y'(-1) = -4 \cdot (-1) = 4.
Logo o coeficiente angular da reta tangente é m=4.

Passo 4

A equação ponto-declive da reta tangente em (-1,0) é
y - 0 = 4\bigl(x - (-1)\bigr)
ou seja
y = 4(x + 1) = 4x + 4.

Resposta

A reta tangente é y = 4x + 4.

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