(2,0 pontos) Se 3 x^{2}-9 x+7=(x-a)^{3}-(x-b)^{3}, para todo número real x, o valor de a+b é:

Passo 1

O enunciado dá a identidade polinomial
3x^{2}-9x+7=(x - a)^{3} - (x - b)^{3}
para todo x. O conteúdo é comparação de coeficientes de polinômios: se dois polinômios coincidem para todo x, então seus coeficientes de cada grau são iguais.

Passo 2

Vamos expandir o lado direito. Temos
(x - a)^{3} - (x - b)^{3} =\bigl(x^{3}-3a x^{2}+3a^{2}x - a^{3}\bigr) -\bigl(x^{3}-3b x^{2}+3b^{2}x - b^{3}\bigr)
Cancelando x^{3} e agrupando,
=3(b - a)\,x^{2} \;+\;3(a^{2}-b^{2})\,x\;+\;(b^{3}-a^{3}).
Como a^{2}-b^{2}=-(b-a)(a+b) e b^{3}-a^{3}=(b-a)(b^{2}+ab+a^{2}), fica
(x - a)^{3} - (x - b)^{3} =3\,d\,x^{2}-3\,d\,(a+b)\,x+d\,(b^{2}+ab+a^{2}),
onde definimos d=b-a.

Passo 3

Agora comparamos coeficientes com 3x^{2}-9x+7:
  1. Coeficiente de x^{2}:
    3d = 3 \;\Longrightarrow\; d = b - a = 1.
  2. Coeficiente de x:
    -3\,d\,(a+b) = -9 \;\Longrightarrow\; -3\,(a+b) = -9 \;\Longrightarrow\; a + b = 3.
(O coeficiente constante também confere: d(b^{2}+ab+a^{2})=1\cdot7=7.)

Resposta

3

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