Determine a convergência ou não da série
onde o termo geral
é dado por:
Passo 1
O enunciado dá a série com termo geral
igual a
e pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informação importante dada: cada termo é positivo (ou seja,
para todo
).
A pergunta é simplesmente: a série converge ou não?
A pergunta é simplesmente: a série
Passo 2
Estratégia: vou aplicar o Teste da raiz (Teste de Cauchy) porque o termo tem a forma
— isso geralmente torna o teste da raiz direto e simples. Também, por ser um termo positivo, convergência absoluta é equivalente à convergência. Antes de aplicar, explico o teste.
Aula rápida do Teste da raiz:
- Dados termos
, definir . - Se
então a série converge absolutamente. - Se
então a série diverge. - Se
o teste é inconclusivo.
Aquié a raiz enésima do valor absoluto de . Para termos em forma , essa raiz normalmente simplifica a base.
Passo 3
Calcular a raiz enésima de
. Como
, tem-se:
Expliquei: a raiz enésima de
é simplesmente
porque
.
Passo 4
Agora calculo o limite (ou
) quando
:
Como
, o Teste da raiz garante que a série converge absolutamente. Em palavras: os termos decaem tão rapidamente (a raiz enésima tende a zero) que a soma infinita fica finita.
Passo 5
Observação alternativa (para intuição e método de prova por comparação): escrevendo
, para
vale
, então
A série geométrica
converge (razão
com soma finita). Pelo teste de comparação, a cauda da série
é majorada por uma série geométrica convergente, logo
também converge. Isso confirma o resultado do Teste da raiz por outro caminho.
Passo 6
Conclusão didática e motivação final: como os termos são positivos, a convergência absoluta significa simplesmente que a série converge. A convergência aqui é muito forte — os termos decrescem mais rápido do que qualquer potência polinomial e até mais rápido que muitas séries geométricas típicas, por isso a soma converge bem.
Resposta
A série
converge (convergência absoluta).