Determine a convergência ou não da série \sum a_{n} onde o termo geral a_{n} é dado por:
\frac{1}{n^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série com termo geral a_{n} igual a
a_{n}=\frac{1}{n^{n}}
e pede para determinar se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge ou diverge. Informação importante dada: cada termo é positivo (ou seja, a_{n}>0 para todo n\ge1).
A pergunta é simplesmente: a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{n}} converge ou não?

Passo 2

Estratégia: vou aplicar o Teste da raiz (Teste de Cauchy) porque o termo tem a forma (\text{algo})^{n} — isso geralmente torna o teste da raiz direto e simples. Também, por ser um termo positivo, convergência absoluta é equivalente à convergência. Antes de aplicar, explico o teste.
Aula rápida do Teste da raiz:
  • Dados termos a_n, definir L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  • Se L<1 então a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Se L>1 então a série diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo.
    Aqui \sqrt[n]{|a_n|} é a raiz enésima do valor absoluto de a_n. Para termos em forma (\text{base})^{n}, essa raiz normalmente simplifica a base.

Passo 3

Calcular a raiz enésima de a_{n}. Como a_n=\dfrac{1}{n^{n}}=\left(\dfrac{1}{n}\right)^{n}, tem-se:
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\left(\frac{1}{n}\right)^{n}}=\frac{1}{n}.
Expliquei: a raiz enésima de (\frac{1}{n})^{n} é simplesmente \frac{1}{n} porque (\sqrt[n]{(\frac{1}{n})^{n}})=(\frac{1}{n})^{n\cdot\frac{1}{n}}=(\frac{1}{n}).

Passo 4

Agora calculo o limite (ou \limsup) quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Como 0<1, o Teste da raiz garante que a série converge absolutamente. Em palavras: os termos decaem tão rapidamente (a raiz enésima tende a zero) que a soma infinita fica finita.

Passo 5

Observação alternativa (para intuição e método de prova por comparação): escrevendo a_n=(1/n)^n, para n\ge2 vale 1/n\le 1/2, então
a_n=\left(\frac{1}{n}\right)^{n}\le\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
A série geométrica \sum_{n=2}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} converge (razão 1/2 com soma finita). Pelo teste de comparação, a cauda da série \sum a_n é majorada por uma série geométrica convergente, logo \sum a_n também converge. Isso confirma o resultado do Teste da raiz por outro caminho.

Passo 6

Conclusão didática e motivação final: como os termos são positivos, a convergência absoluta significa simplesmente que a série converge. A convergência aqui é muito forte — os termos decrescem mais rápido do que qualquer potência polinomial e até mais rápido que muitas séries geométricas típicas, por isso a soma converge bem.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{n}} converge (convergência absoluta).

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