e pede para determinar se a série \sum a_{n} converge ou diverge.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
O termo geral é a_{n}=\sqrt{\dfrac{n^{2}+2}{\,n^{4}+4\,}}.
Todos os termos são não negativos (pois é raiz quadrada de quantidade positiva).
O que se pede: decidir convergência (converge condicional/absolutamente) ou divergência da série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}.
Passo 2
Escolha do método de resolução (explicação didática e motivo):
Como os termos são positivos, testes de comparação são naturais (teste da comparação direta ou limite de comparação).
Observando a forma do termo, para n grande a razão \dfrac{n^{2}+2}{n^{4}+4} deve se comportar como \dfrac{n^{2}}{n^{4}}=\dfrac{1}{n^{2}}, e a raiz quadrada disso deve se comportar como \dfrac{1}{n}. Isso sugere comparar com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}, que é conhecida por divergir.
Vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test) com b_{n}=\dfrac{1}{n} porque é direto e rigoroso: se \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}=L com 0< L<\infty, então \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
Passo 3
Verificar condição para usar o teste da comparação por limite:
Para todo n\ge1 temos n^{2}+2>0 e n^{4}+4>0, logo a_{n}=\sqrt{\dfrac{n^{2}+2}{n^{4}+4}}>0.
A sequência b_{n}=\dfrac{1}{n} também é positiva para n\ge1.
Portanto, as hipóteses do teste da comparação por limite (termos positivos) estão satisfeitas.
Passo 4
Calcular o limite \displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}.
Portanto o limite L existe e é L=1, com 0< L<\infty.
Passo 5
Conclusão pelo teste da comparação por limite:
Como \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}=1 e a série comparadora \sum b_{n}=\sum \dfrac{1}{n} (a série harmônica) diverge, segue que a série \sum a_{n} também diverge.
Comentário final de incentivo: deu trabalho ver os detalhes, mas a ideia principal é reconhecer o comportamento assintótico \,a_{n}\sim\dfrac{1}{n}\, e usar o teste da comparação por limite. Boa! Continue assim, passo a passo.