Determine a convergência ou não da série \sum a_{n} onde o termo geral a_{n} é dado por:
\left(\frac{n^{2}+2}{n^{4}+4}\right)^{\frac{1}{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série com termo geral
a_{n}=\left(\frac{n^{2}+2}{n^{4}+4}\right)^{\frac{1}{2}}
e pede para determinar se a série \sum a_{n} converge ou diverge.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O termo geral é a_{n}=\sqrt{\dfrac{n^{2}+2}{\,n^{4}+4\,}}.
  • Todos os termos são não negativos (pois é raiz quadrada de quantidade positiva).
  • O que se pede: decidir convergência (converge condicional/absolutamente) ou divergência da série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}.

Passo 2

Escolha do método de resolução (explicação didática e motivo):
  • Como os termos são positivos, testes de comparação são naturais (teste da comparação direta ou limite de comparação).
  • Observando a forma do termo, para n grande a razão \dfrac{n^{2}+2}{n^{4}+4} deve se comportar como \dfrac{n^{2}}{n^{4}}=\dfrac{1}{n^{2}}, e a raiz quadrada disso deve se comportar como \dfrac{1}{n}. Isso sugere comparar com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}, que é conhecida por divergir.
  • Vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test) com b_{n}=\dfrac{1}{n} porque é direto e rigoroso: se \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}=L com 0< L<\infty, então \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).

Passo 3

Verificar condição para usar o teste da comparação por limite:
  • Para todo n\ge1 temos n^{2}+2>0 e n^{4}+4>0, logo a_{n}=\sqrt{\dfrac{n^{2}+2}{n^{4}+4}}>0.
  • A sequência b_{n}=\dfrac{1}{n} também é positiva para n\ge1.
  • Portanto, as hipóteses do teste da comparação por limite (termos positivos) estão satisfeitas.

Passo 4

Calcular o limite \displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}.
Escrevendo a razão:
\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\sqrt{\dfrac{n^{2}+2}{n^{4}+4}}}{\dfrac{1}{n}} = n\sqrt{\frac{n^{2}+2}{n^{4}+4}}.
Fatorando potências de n dentro da raiz para facilitar o limite:
\sqrt{\frac{n^{2}+2}{n^{4}+4}} = \sqrt{\frac{n^{2}\left(1+\dfrac{2}{n^{2}}\right)}{n^{4}\left(1+\dfrac{4}{n^{4}}\right)}} = \sqrt{\frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{1+\dfrac{2}{n^{2}}}{1+\dfrac{4}{n^{4}}}} = \frac{1}{n}\sqrt{\frac{1+\dfrac{2}{n^{2}}}{1+\dfrac{4}{n^{4}}}}.
Substituindo na razão:
\frac{a_{n}}{b_{n}} = n \cdot \frac{1}{n}\sqrt{\frac{1+\dfrac{2}{n^{2}}}{1+\dfrac{4}{n^{4}}}} = \sqrt{\frac{1+\dfrac{2}{n^{2}}}{1+\dfrac{4}{n^{4}}}}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Como \dfrac{2}{n^{2}}\to 0 e \dfrac{4}{n^{4}}\to 0, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \sqrt{\frac{1+0}{1+0}} = \sqrt{1} = 1.
Portanto o limite L existe e é L=1, com 0< L<\infty.

Passo 5

Conclusão pelo teste da comparação por limite:
  • Como \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}=1 e a série comparadora \sum b_{n}=\sum \dfrac{1}{n} (a série harmônica) diverge, segue que a série \sum a_{n} também diverge.
Comentário final de incentivo: deu trabalho ver os detalhes, mas a ideia principal é reconhecer o comportamento assintótico \,a_{n}\sim\dfrac{1}{n}\, e usar o teste da comparação por limite. Boa! Continue assim, passo a passo.

Resposta

A série diverge.

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