Determine a convergência ou não da série \sum a_{n} onde o termo geral a_{n} é dado por: \frac{(-1)^{n}}{e^{n}}
Passo 1
O enunciado dá a série cujo termo geral é a_n=\dfrac{(-1)^n}{e^n} e pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converge ou não. Informações relevantes fornecidas:
O termo geral é a_n=\dfrac{(-1)^n}{e^n}.
A base e é a constante de Euler (aprox. 2,718\ldots), portanto e>1.
Não foi especificado o índice inicial, então assumimos o caso usual n=1,2,3,\ldots.
O que se pede: decidir convergência (condicional, absoluta ou divergência) e, se possível, identificar o valor da soma.
Passo 2
Conceito importante: convergência absoluta. Dizemos que a série \sum a_n converge absolutamente se a série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|
converge. Se a série converge absolutamente, então ela converge (essa é uma propriedade geral). Vou aplicar isso aqui: primeiro calculo |a_n|.
Conclusão a partir do Passo 3: como \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| converge (soma finita), a série original \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge absolutamente. Pela propriedade geral, convergência absoluta implica convergência (não apenas condicional).
Passo 5
(Complemento — verificação alternativa e soma explícita da série original.) A própria série original é também uma série geométrica, porque