Determine a convergência ou não da série \sum a_{n} onde o termo geral a_{n} é dado por:
\frac{(-1)^{n}}{e^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série cujo termo geral é a_n=\dfrac{(-1)^n}{e^n} e pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converge ou não. Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{(-1)^n}{e^n}.
  • A base e é a constante de Euler (aprox. 2,718\ldots), portanto e>1.
  • Não foi especificado o índice inicial, então assumimos o caso usual n=1,2,3,\ldots.
    O que se pede: decidir convergência (condicional, absoluta ou divergência) e, se possível, identificar o valor da soma.

Passo 2

Conceito importante: convergência absoluta. Dizemos que a série \sum a_n converge absolutamente se a série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|
converge. Se a série converge absolutamente, então ela converge (essa é uma propriedade geral). Vou aplicar isso aqui: primeiro calculo |a_n|.
Calcular o módulo do termo geral:
|a_n|=\left|\dfrac{(-1)^n}{e^n}\right|=\dfrac{1}{e^n},
pois |(-1)^n|=1 e |e^n|=e^n.

Passo 3

Agora observamos que a série dos módulos é
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{e^n}.
Isto é uma série geométrica com razão
r=\dfrac{1}{e}.
Lembrete sobre série geométrica: para |r|<1 vale
\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \dfrac{r}{1-r}.
Aqui |r|=\dfrac{1}{e}<1 porque e>1. Logo a série dos módulos converge. Podemos até calcular sua soma:
\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{e^n} = \dfrac{\tfrac{1}{e}}{1-\tfrac{1}{e}} = \dfrac{1/e}{(e-1)/e} = \dfrac{1}{e-1},
que é um número finito.

Passo 4

Conclusão a partir do Passo 3: como \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| converge (soma finita), a série original \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge absolutamente. Pela propriedade geral, convergência absoluta implica convergência (não apenas condicional).

Passo 5

(Complemento — verificação alternativa e soma explícita da série original.) A própria série original é também uma série geométrica, porque
a_n = \dfrac{(-1)^n}{e^n} = \left(-\dfrac{1}{e}\right)^n.
Então é uma série geométrica com razão
r = -\dfrac{1}{e},
que satisfaz |r|=\dfrac{1}{e}<1. Aplicando a fórmula da soma de uma série geométrica a partir de n=1:
\sum_{n=1}^{\infty} \left(-\dfrac{1}{e}\right)^n = \dfrac{-\dfrac{1}{e}}{1 - \left(-\dfrac{1}{e}\right)}.
Fazendo as contas no numerador e denominador:
\dfrac{-\dfrac{1}{e}}{1 + \dfrac{1}{e}} = \dfrac{-\dfrac{1}{e}}{\dfrac{e+1}{e}} = -\dfrac{1}{e+1}.
Portanto a soma da série (quando indexada a partir de n=1) é -\dfrac{1}{e+1}.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{e^n} = -\dfrac{1}{e+1}

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