Determine a convergência ou não da série \sum a_{n} onde o termo geral a_{n} é dado por: \frac{2^{n}}{(2 n)!}
Passo 1
O enunciado dá a série \sum a_{n} com termo geral
a_{n}=\frac{2^{n}}{(2n)!},
onde n varia sobre os inteiros positivos (assume-se n\ge 1). A pergunta é: determinar se a série converge ou diverge. Observação importante: os termos a_{n} são positivos para todo n.
Passo 2
Escolho um teste adequado para investigar a convergência. Como aparece (2n)! (fatorial) no denominador, um teste natural e eficiente é o teste da razão (teste de d’Alembert), porque ele lida bem com fatoriais e potências. Vou aplicar esse teste e explicá-lo em seguida.
Passo 3
Enunciado do teste da razão (explicado de modo simples):
Para uma série \sum a_n com termos a_n (podem ser complexos, mas aqui são positivos), calcula-se o limite
Para n grande, o denominador cresce como 4n^{2}, então o quociente tende a 0. Formalmente,
L=0.
Como L<1, o teste da razão garante que a série \sum a_n converge absolutamente. Como os termos são positivos, isso significa simplesmente que a série converge.
Passo 6
Comentário final e incentivo: a razão testou rápido e mostrou que o crescimento do fatorial no denominador domina a potência 2^{n} no numerador — por isso a série converge. Isso é típico: fatoriais crescem muito mais rápido que exponenciais. Ótimo trabalho em chegar até aqui — já é um sinal de que você está pegando o jeito!