Determine a convergência ou não da série \sum a_{n} onde o termo geral a_{n} é dado por:
\frac{2^{n}}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado dá a série \sum a_{n} com termo geral
a_{n}=\frac{2^{n}}{(2n)!},
onde n varia sobre os inteiros positivos (assume-se n\ge 1). A pergunta é: determinar se a série converge ou diverge. Observação importante: os termos a_{n} são positivos para todo n.

Passo 2

Escolho um teste adequado para investigar a convergência. Como aparece (2n)! (fatorial) no denominador, um teste natural e eficiente é o teste da razão (teste de d’Alembert), porque ele lida bem com fatoriais e potências. Vou aplicar esse teste e explicá-lo em seguida.

Passo 3

Enunciado do teste da razão (explicado de modo simples):
  • Para uma série \sum a_n com termos a_n (podem ser complexos, mas aqui são positivos), calcula-se o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Agora aplico o teste calculando \dfrac{a_{n+1}}{a_n}.

Passo 4

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{\,n+1}/(2(n+1))!}{2^{\,n}/(2n)!} = \frac{2^{\,n+1}}{2^{\,n}}\cdot\frac{(2n)!}{(2n+2)!}.
Simplificando potências de 2:
\frac{2^{\,n+1}}{2^{\,n}}=2.
E usando (2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)! obtemos
\frac{(2n)!}{(2n+2)!}=\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}.
Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2}{(2n+2)(2n+1)}.

Passo 5

Agora calculamos o limite L:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{(2n+2)(2n+1)}.
Para n grande, o denominador cresce como 4n^{2}, então o quociente tende a 0. Formalmente,
L=0.
Como L<1, o teste da razão garante que a série \sum a_n converge absolutamente. Como os termos são positivos, isso significa simplesmente que a série converge.

Passo 6

Comentário final e incentivo: a razão testou rápido e mostrou que o crescimento do fatorial no denominador domina a potência 2^{n} no numerador — por isso a série converge. Isso é típico: fatoriais crescem muito mais rápido que exponenciais. Ótimo trabalho em chegar até aqui — já é um sinal de que você está pegando o jeito!

Resposta

Converge (convergência absoluta).

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