Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
(4) sumk=1^infty 7^k+3^k5^k

Passo 1

O enunciado pede a convergência da série
sumk=1^infty 7^k+3^k5^k
Este tipo de série pode ser decomposto em soma de duas séries geométricas, então vamos analisar cada uma delas.

Passo 2

Escrevemos
sumk=1^infty 7^k+3^k5^k = sumk=1^infty (75)^k + sumk=1^infty (35)^k

Passo 3

Para uma série geométrica sumk=1^inftyr^k sabemos que ela converge se, e somente se, lvert rrvert<1, e nesse caso
sumk=1^inftyr^k = r1-r
Aqui temos dois casos:
r1=7/5, com lvert 7/5rvert>1, logo sum (7/5)^k diverge.
r2=3/5, com lvert 3/5rvert<1, logo sum (3/5)^k converge e sua soma é
3/51-3/5 = 3/52/5 = 32

Passo 4

Como uma das séries (a de razão 7/5) diverge, a soma das duas também diverge. Portanto a série original não converge e não possui soma finita.

Resposta

A série diverge.

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