E) Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=0^infty 2^k / 23^k

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=0^infty 2^k/23^k
e, caso ela convirja, determinar sua soma. O conteúdo aqui é séries geométricas e vamos usar que, se lvert rrvert<1, então
sumk=0^infty r^k = 11-r

Passo 2

Reescrevemos o termo geral de modo a identificar uma razão de progressão geométrica. Note que
2^k/2 = l(2^1/2r)^k = (raiz2)^k
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2^k/23^k = (raiz23)^k

Passo 3

Identificamos a razão da série geométrica como
r = raiz23
Como raiz2approx1,414, temos lvert rrvert = raiz23approx0,471<1. Portanto a série converge.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica a partir de k=0, obtemos
sumk=0^infty (raiz23)^k = 11 - raiz23 = 13-raiz23 = 33-raiz2
Podemos também racionalizar o denominador:
33-raiz2cdot3+raiz23+raiz2 = 3(3+raiz2)9-2 = 3(3+raiz2)7

Resposta

A série converge e
sumk=0^infty 2^k/23^k = 33-raiz2 = 3(3+raiz2)7

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