E) Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=1^infty 3^k3^k / 2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumk=1^infty 3^k3^k/2
e, caso ela converja, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é reconhecer e aplicar o teste da série geométrica, que diz que
sumk=1^infty r^k
converge se, e somente se, lvert rrvert<1, e nesse caso sua soma é
r1-r

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral:
ak = 3^k3^k/2 = 3^,k - tfrack2 = 3^,tfrack2 = l(raiz3r)^k
Logo a série fica
sumk=1^infty ak ;=;sumk=1^infty l(raiz3r)^k,
que é uma série geométrica de razão r = raiz3.

Passo 3

O teste da série geométrica diz que ela só converge se lvert rrvert<1. Aqui temos
r = raiz3approx1,732 > 1,
portanto a condição de convergência não é satisfeita.

Resposta

A série diverge (não há soma finita).

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