Nos Problemas 3-8, mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto.
Passo 1
O enunciado define uma função
por
onde
. Queremos mostrar que
não é analítica em nenhum ponto do plano. Para isso, vamos usar o critério de Cauchy–Riemann, que é uma condição necessária (e suficiente, em domínio aberto) para a diferenciabilidade complexa.
Passo 2
Escrevemos
em termos das partes real e imaginária:
onde
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
e
:
Passo 4
As equações de Cauchy–Riemann exigem:
Substituindo:
Como a segunda equação falha em todo ponto
,
não satisfaz as condições de Cauchy–Riemann em nenhum lugar.
Resposta
A função
não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.