Nos Problemas 3-8, mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto.
f(z)=y+i x

Passo 1

O enunciado define uma função f:CtoC por
f(z)=y+i,x,
onde z=x+i,y. Queremos mostrar que f não é analítica em nenhum ponto do plano. Para isso, vamos usar o critério de Cauchy–Riemann, que é uma condição necessária (e suficiente, em domínio aberto) para a diferenciabilidade complexa.

Passo 2

Escrevemos f em termos das partes real e imaginária:
f(z)=u(x,y)+i,v(x,y)
onde
u(x,y)=y, v(x,y)=x

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de u e v:
ux=partialpartial xy=0, uy=partialpartial yy=1,
vx=partialpartial xx=1, vy=partialpartial yx=0

Passo 4

As equações de Cauchy–Riemann exigem:
ux = vy e uy = -,vx
Substituindo:
ux=0,;vy=0Longrightarrow ux=vy(ok),
uy=1,;vx=1Longrightarrow 1neq -1Longrightarrow uyneq -vx
Como a segunda equação falha em todo ponto (x,y), f não satisfaz as condições de Cauchy–Riemann em nenhum lugar.

Resposta

A função f(z)=y+i,x não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.

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