Nos Problemas 3-8, mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto.
f(z)=xx^2+y^2+i yx^2+y^2

Passo 1

O enunciado define a função
f(z)=xx^2+y^2 + i,yx^2+y^2
onde z=x+iy. Queremos mostrar que f não é analítica em nenhum ponto do domínio zinC:x^2+y^2neq0. Para isso vamos usar o critério de Cauchy–Riemann, que diz que, se f=u(x,y)+i,v(x,y) é diferenciável em um ponto interior do domínio, então
ux = vy e uy = -,vx
devem valer naquele ponto.

Passo 2

Identificamos as partes real e imaginária de f:
u(x,y) = xx^2+y^2, v(x,y) = yx^2+y^2

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de u e v. Definimos D=(x^2+y^2)^2. Então
ux = (1)(x^2+y^2) - xcdot2xD = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2,
uy = 0cdot(x^2+y^2) - xcdot2yD = -,2xy(x^2+y^2)^2,
vx = 0cdot(x^2+y^2) - ycdot2xD = -,2xy(x^2+y^2)^2,
vy = (1)(x^2+y^2) - ycdot2yD = x^2 - y^2(x^2+y^2)^2

Passo 4

As condições de Cauchy–Riemann exigem
ux = vy Longrightarrow y^2 - x^2(x^2+y^2)^2 = x^2 - y^2(x^2+y^2)^2 ;Longrightarrow; y^2 - x^2 = x^2 - y^2 ;Longrightarrow;y^2 = x^2,
uy = -,vx Longrightarrow -,2xy(x^2+y^2)^2 = -,l(-,2xy(x^2+y^2)^2r) ;Longrightarrow; -2xy = 2xy ;Longrightarrow;xy=0
Para satisfazer ambas as equações simultaneamente precisaria ter y^2=x^2 e xy=0. As únicas soluções reais são x=0,y=0, mas esse ponto não pertence ao domínio de f (lá x^2+y^2=0 e f é singular).

Passo 5

Concluímos que não existe ponto em x^2+y^2neq0 onde as equações de Cauchy–Riemann se cumpram. Logo, f não é analítica em nenhum ponto do seu domínio.

Resposta

A função f não é analítica em nenhum ponto de seu domínio.

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