Nos Problemas 3-8, mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto.
Passo 1
O enunciado define a função
onde
. Queremos mostrar que
não é analítica em nenhum ponto do domínio
. Para isso vamos usar o critério de Cauchy–Riemann, que diz que, se
é diferenciável em um ponto interior do domínio, então
devem valer naquele ponto.
Passo 2
Identificamos as partes real e imaginária de
:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
e
. Definimos
. Então
Passo 4
As condições de Cauchy–Riemann exigem
Para satisfazer ambas as equações simultaneamente precisaria ter
e
. As únicas soluções reais são
, mas esse ponto não pertence ao domínio de
(lá
e
é singular).
Passo 5
Concluímos que não existe ponto em
onde as equações de Cauchy–Riemann se cumpram. Logo,
não é analítica em nenhum ponto do seu domínio.
Resposta
A função
não é analítica em nenhum ponto de seu domínio.