Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
9)
sumk=2^infty 2^k+1+2.7^k9^k

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência e, em caso afirmativo, calcular a soma da série
sumk=2^infty 2^k+1 + 2cdot7^k9^k
O conteúdo principal aqui é a série geométrica: sabemos que, para |r|<1,
sumk=N^infty r^k = r^N1-r

Passo 2

Vamos separar a soma em duas séries:
2^k+1 + 2cdot7^k9^k = 2cdot2^k9^k + 2cdot7^k9^k = 2l(29r)^k + 2l(79r)^k
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sumk=2^infty 2^k+1 + 2cdot7^k9^k = 2sumk=2^inftyl(29r)^k + 2sumk=2^inftyl(79r)^k

Passo 3

Verificamos as razões:
l|tfrac29r|<1 e l|tfrac79r|<1,
logo as duas séries geométricas convergem.

Passo 4

Calcular a primeira soma:
2sumk=2^inftyl(29r)^k = 2cdot l(tfrac29r)^21 - tfrac29 = 2cdot tfrac481tfrac79 = 2cdot 481cdot 97 = 863

Passo 5

Calcular a segunda soma:
2sumk=2^inftyl(79r)^k = 2cdot l(tfrac79r)^21 - tfrac79 = 2cdot tfrac4981tfrac29 = 2cdot 4981cdot 92 = 499

Passo 6

Somando os dois resultados:
863 + 499 = 863 + 49cdot763 = 8 + 34363 = 35163 = 397

Resposta

A série converge e sua soma é 397.

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