Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
sumn=1^infty (-1)^n e^12n^3

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty(-1)^n,e^12n^3
e pede para determinar se ela converge absolutamente ou diverge, usando o teste da razão (ou da raiz).

Passo 2

Definimos an=(-1)^ne^12n^3. Para aplicar o teste da razão, olhamos para as parcelas em valor absoluto:
|an+1an| = e^12/(n+1)^3 e^12/n^3 =n^3(n+1)^3 =l(tfracnn+1r)^3
Tomando o limite quando ntoinfty,
limntoinftyl(tfracnn+1r)^3 =1

Passo 3

Como o limite do teste da razão é 1, o teste da razão é inconclusivo.

Passo 4

Para ver convergência absoluta, consideramos
sumn=1^inftyl|anr| =sumn=1^inftye^12n^3 =e^12sumn=1^infty1n^3
Esta é uma série p-série com p=3>1, logo converge.

Resposta

A série converge absolutamente.

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