Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
sumn=1^infty n!n^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty n!n^n
converge absolutamente ou diverge, usando o teste da razão ou da raiz. Como os termos são todos positivos, podemos aplicar o teste da razão: se
L = limntoinfty an+1an < 1,
a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Definindo an = n!n^n, calculamos
an+1an = (n+1)!(n+1)^,n+1 n!n^n = (n+1)!,n^nn!,(n+1)^,n+1 = n^n(n+1)^,n = l(nn+1r)^n

Passo 3

Agora avaliamos o limite
L = limntoinfty l(nn+1r)^n = limntoinfty l(1 + 1nr)^-n = e^-1
Como e^-1<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^inftyn!n^n converge absolutamente.

Exercícios relacionados